Les nombres flottants

Les nombres à virgule ont une représentation en binaire. En informatique, ces nombres sont dits flottants.

Représentation en virgule fixe

Les nombres flottants ont une partie avant la virgule et une partie après la virgule.

• La partie entière est composée de puissances de 2 positives;

• La partie après la virgule (ou le point), est composée de puissances de 2 d’exposants négatifs.

Exemple

Le nombre \(1001,01\) écrit en binaire représente un nombre à virgule. Pour le convertir en écriture décimale, on associe à chaque chiffre sa puissance de 2.

\[\begin{split}1001,01_{2} &= 1\times 2^{3} + 0\times 2^{2} + 0\times 2^{1} + 1\times 2^{0} + 0\times 2^{-1} + 1\times 2^{-2}\\ 1001,01_{2} &= 8 + 1 + \dfrac{1}{4}\\ 1001,01_{2} &= 9,25_{10}\end{split}\]

La représentation des nombres à virgules en binaire est dans certains cas inexacte. En effet la partie située après la virgule n’est pas nécessairement décomposable avec des puissances de 2. Cela conduit donc a des approximations dont la précision dépend du nombre de bits alloués à l’écriture de la partie après la virgule.

Exemple

La partie après la virgule du nombre \(0,3\) est représenté sur 1 octet par 01001100. En effectuant le calcul des puissances de 2, on obtient:

\[\begin{split}01001100_{2} &= 0 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2} + 0 \times 2^{-3} + 0 \times 2^{-4} + 1 \times 2^{-5} + 1 \times 2^{-6} + 0 \times 2^{-3} + 0 \times 2^{-4}\\ 01001100_{2} &= \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{32} + \dfrac{1}{64}\\ 01001100_{2} &= 0,296875\end{split}\]

Important

C’est pour cette raison qu’on ne peut pas effectuer de test d’égalité entre 2 nombres à virgule.

Si a et b sont 2 nombres à virgule, le test a == b est remplacé par le test abs(a - b) < 0.0001 où le nombre 0.0001 représente la précision attendue.

Représentation en virgule flottante

Dans le système décimal, la notation scientifique est une écriture d’un nombre sous la forme \(a \times 10^{n}\) où le nombre \(a\) est compris entre 1 et 10. L’exposant \(n\) correspond au décalage de la virgule dans le nombre.

En binaire, les nombres peuvent s’écrire avec une puissance de \(2\). On décale la virgule jusqu’au premier chiffre non nul. Voilà pourquoi on parle de flottant en faisant référence à cette virgule qui flotte (se décale).

Exemple

• \(11010101_{2}=1,1010101 \times 2^{7}\)

• \(11010,101_{2}=1,1010101 \times 2^{3}\)

• \(0,0000101_{2}=1,01 \times 2^{-5}\)

Norme IEEE 754

Les représentations des nombres flottants suivent une norme d’écriture selon les modèles d’architecture 32 ou 64 bits.

Cette représentation binaire se décompose en 3 parties:

• le premier bit est réservé au signe du nombre; le bit 0 pour un nombre positif et le bit 1 pour un nombre négatif.

• les bits suivants (8 ou 11) sont réservés à l’exposant que l’on décale en ajoutant la valeur \(127\) pour une architecture 32 bits et la valeur \(1023\) pour une architecture 64 bits.

• les derniers bits (23 ou 52) représentent la mantisse du nombre. Cette valeur est toujours comprise entre 1 et 2 ce qui implique que le premier chiffre de la mantisse vaut 1 et n’est pas représenté. Par conséquent, seuls les chiffres écrits après la virgule sont représentés.

On résume cette représentation dans le tableau ci-dessous:

architecture	signe	exposant + décalage	mantisse - 1
32 bits	1 bit	8 bits	23 bits
64 bits	1 bit	11 bits	52 bits

Exemple

On donne la représentation binaire d’un nombre flottant sur une architecture 32 bits:

\[\begin{split}e &= 2^{7}+2^{2}+2^{1} - 127\\ e &= 128+4+2 - 127\\ e &= 7\end{split}\]

• la mantisse m vaut 101011011. En ajoutant le bit 1 devant la virgule, on obtient 1,101011011. Si on décale la virgule de 7 rangs, on obtient le nombre (à virgule fixe) 11010110,11. On peut convertir la partie avant la virgule:

\[\begin{split}11010110_{2} &= 2^{7} + 2^{6} + 2^{4} + 2^{2} + 2^{1}\\ 11010110_{2} &= 128 + 64 + 16 + 4 + 2\\ 11010110_{2} &= 214\end{split}\]

et celle après la virgule:

\[\begin{split}0,11_{2} &= 2^{-1} + 2^{-2}\\ 0,11_{2} &= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\\ 0,11_{2} &= 0,75\end{split}\]

Au final, on obtient le nombre \(-214,75\).